а) Косинус разности. Предположим, что углы $\alpha$ и $\beta$ удовлетворяют следующим двум условиям:
1) $0 \leq \alpha < 2 \pi$, $0 \leq \beta < 2 \pi$; 2) $\alpha \geq \beta$.
На рис. изображены углы $\alpha (\angle AOC)$ и $\beta (\angle AOB)$. Точки $A, B$ и $C$ лежат на единичной окружности ($OA = OB = OC = 1$). Заметим, что $\angle BOC = \alpha - \beta$.
Кроме системы координат $Oxy$ будем рассматривать еще новую систему координат $Ox^{\prime}y^{\prime}$, полученную из старой поворотом на угол $\beta$.
В дальнейшем будем использовать тот факт, что расстояние $BC$ между точками $B$ и $C$, вычисленное в старой системе координат $Oxy$ и в новой системе координат $Ox^{\prime}y^{\prime}$, будет одинаково.
В системе координат $Оху$ точка $B$ имеет координаты $(\cos \beta, \sin \beta)$, а точка $C$ - координаты $(\cos \alpha, \sin \alpha)$. По формуле ${AB}^{2} = \sqrt {(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ имеем
${ВС}^{2} = (\cos \alpha - \cos \beta)^{2} + (\sin \alpha - \sin \beta)^{2} = \cos^{2} \alpha - 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^{2} \beta + \sin^{2} \alpha - 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^{2} \beta = 2(1 - \cos\alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)$. (1)
В системе координат $Ox^{\prime}y^{\prime}$ точка $B$ имеет координаты (1, 0), а точка $C$ - координаты $(\cos (\alpha - \beta), \sin (\alpha - \beta))$. По формуле ${AB}^{2} = \sqrt {(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ найдем
${BC}^{2} = [\cos(\alpha - \beta)-1]^{2} + \sin^{2}(\alpha - \beta) = \cos^{2} (\alpha - \beta) - 2 \cos (\alpha - \beta) + 1 + sin^{2}(v) = 2 [1 - \cos (\alpha - \beta)]$. (2)
Приравняв правые части формул (1) и (2), получим выражение для косинуса разности двух углов:
$\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$. (3)
Мы доказали теорему:
Косинус разности двух углов равен произведению косинуса первого угла на косинус второго плюс произведение синуса первого угла на синус второго.
Заметим, что ограничения, наложенные на углы $\alpha$ и $\beta$ условиями 1) и 2), можно снять. В самом деле, допустим, что сиято ограничение $0 \leq \alpha < 2 \pi; 0 \leq \beta < 2 \pi$, налагаемое на углы $\alpha$ и $\beta$ условиями 1), и мы имеем: $2 \pi k \leq \alpha < 2 \pi (k+1)$ и $2 \pi m \leq \beta < 2 \pi (m+1)$, где $k, m = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$, или $0 \leq \alpha_{1} < 2 \pi$ и $0 \leq \beta - 2 \pi m < 2 \pi$. Положив $\alpha - 2 \pi k = \alpha_{1}, \beta - 2 \pi m = \beta_{1}$, получим $0 \leq \alpha_{1} < 2 \pi$ и $0 \leq \beta_{1} < 2 \pi$. Без ограничения общности будем считать, что $\alpha_{1} \geq \beta_{1}$. (Ниже будет показано, что условие 2) не существенно.)
Итак, углы $\alpha_{1}$ и $\beta_{1}$, удовлетворяют условиям 1) и 2), при которых была доказана теорема. Следовательно,
$\cos (\alpha_{1} - \beta_{1}) = \cos \alpha_{1} \cos \beta_{1} + \sin \alpha_{1} sin \beta_{1}$.
Подставив вместо $\alpha_{1}$ и $\beta_{1}$ их значения, получим
$\cos [\alpha - \beta + 2 \pi (m - k)] = \cos (\alpha - 2 \pi k) \cos (\beta - 2 \pi m) + \sin (\alpha - 2 \pi k) \sin (\beta - 2 \pi m)$.
Воспользовавшись периодичностью синуса и косинуса, придем к формуле (3). Мы показали, что условие 1) не существенно.
Допустим теперь, что, вопреки условию 2), $\alpha < \beta$, т. е. $\beta > \alpha$. Воспользовавшись четностью косинуса, будем иметь
$\cos ((\beta - \alpha) = \cos [ - (\alpha - \beta)] = \cos (\alpha - \beta)$.
Итак, доказана общность формулы (3), т. е. ее справедливость при любых углах $\alpha$ и $\beta$
б) Косинус суммы. Так как формула (3) справедлива для любых двух углов $\alpha$ и $\beta$, то, заменив в ней $\beta$ на $- \beta$, получим
$\cos(\alpha + \beta) = \cos [\alpha -(- \beta)] = \cos \alpha \cos(-\beta) + \sin \alpha \sin(- \beta)$.
Воспользовавшись четностью косинуса и нечетностью синуса, будем иметь
$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$. (4)
Мы доказали теорему:
Косинус суммы двух углов равен произведению косинуса первого угла на косинус второго минус произведение синуса первого угла на синус второго.
Пример. Вычислить $\cos \frac{13 \pi}{12}$.
Решение. $\cos \frac{13}{12} \pi = \cos \left ( \frac{3}{4} \pi + \frac{ \pi }{3} \right ) = \cos \frac{3}{4} \pi \cos \frac{ \pi }{3} - \sin \frac{3}{4} \pi \sin \frac{ \pi }{3} = - \frac{ \sqrt{2} }{2} \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2} \frac{ \sqrt{3} }{2} = - \frac{ \sqrt{2} }{4} (1 + \sqrt{3} ) \approx - 0,966$.
Формулы (3) и (4), как и ес? выводимые в дальнейшем соотношения для тригонометрических функций, сохраняют свою силу и для тригонометрических функций числового аргумента. Вообще, в дальнейшем мы уже не будем всякий раз указывать, как понимается аргумент тригонометрической функции (как угол или как число).