иррациональные, показательные и логарифмические неравенства
Неравенства, в левые и правые части которых входят алгебраические иррациональности, показательные или логарифмические выражения, содержащие неизвестную, называют, соответственно, иррациональными, показательными и логарифмическими неравенствами.
Решение таких неравенств может требовать выполнения действий возведения в степень, потенцирования, логарифмирования. При проведении преобразований, связанных с этими действиями, необходимо учитывать соответствующие правила, относящиеся к неравенствам. Приведем типичные примеры на решение неравенств названных типов.
Пример 1. Решить неравенство
$\sqrt {x + 5} > 7 - x$. (1)
Решение. Сначала отметим, что о.д.з. задается условием $x \geq -5$. Далее рассматриваем два возможных случая: 1) правая часть неравенства отрицательна, 2) правая часть неравенства неотрицательна. Если $7-x < 0, x > 7$, то неравенство заведомо удовлетворяется: его левая часть не меньше нуля, как арифметическое значение квадратного корня. Остается рассмотреть случай $x \leq 7$. В этом случае обе части неравенства неотрицательны и неравенство можно, не изменяя его смысла, возвести в квадрат. Получаем
$x + 5 > 49 - 14x + x^{2}$.
Это приводит к квадратному неравенству
$x^{2} - 15x + 44 < 0$,
которое удовлетворяется при $4 < x < 11$. Но по предположению $x \leq 7$; поэтому имеем $4 < x \leq 7$.
Итак, неравенство (1) удовлетворяется при $x > 7$ и при $4 < x \leq 7$, т. е., вообще, при $x > 4$. Множество решений неравенства - луч $(4, \infty)$.
Пример 2. Решить неравенство
$\sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 6} \leq 5$. (2)
Решение. В данном случае о.д.з. определяется условием $x \geq -1$. Так как при любых допустимых значениях $x$ обе части неравенства положительны, то возводим неравенство в квадрат:
$x+1+x+6 + 2 \sqrt {(x+1)(x+6)} \leq 25$
или
$\sqrt {x^{2} + 7x + 6} \leq 9 -x$. (3)
Так как слева имеем неотрицательное выражение, то должно выполняться условие $x \leq 9$; в этом случае можно еще раз возвести в квадрат обе части нового неравенства (3) и получить
$x^{2} + 7x + 6 \leq 81 - 18x + x^{2}$,
откуда
$25x \leq 75, x \leq 3$.
Учитывая все найденные ограничения на $x$:
$x \geq - 1, x \leq 9, x \leq 3$,
приходим к следующему решению: неравенство (2) удовлетворяется для $x$, лежащих в сегменте $[-1, 3]$.
Пример 3. Решить неравенство
$(0,25)^x > 2^{\frac {2x}{x+1}}$.
Решение. Естественно отнести это неравенство к показательным неравенствам. После небольших преобразований запишем неравенство в форме
$4^{-x} > 4^{ \frac{x}{x+1}}$. (4)
Теперь основания равны 4 > 1 и неравенство между степенями влечет за собой неравенство того же смысла между показателями степени:
$\frac{x}{x+1} < - x, \frac{x}{x+1} + x < 0$.
Решаем полученное алгебраическое неравенство обычным способом (метод интервалов):
$\frac {x(x+2)}{x+1} < 0$.
Имеем интервалы
$(- \infty, -2); (-2, -1); (-1, 0); (0, \infty)$.
Неравенству (4) удовлетворяют точки интервалов $(- \infty, -2)$ и (-1, 0).
Пример 4. Решить логарифмические неравенства:
а) $log_{4} (x + 7) > log_{2} (x + 1)$; б) $log_{0,5}(x^{2} + 1) > - 1$.
Решение. а) Приведем логарифмы, входящие в данное неравенство, к общему основанию, например к основанию 4. Имеем
$log_{2} (x+1) = log_{4} (x +1)^{2}$.
Теперь можно данное неравенство переписать так:
$log_{4}(x + 7) > log_{4}(x + 1)^{2}$.
Основание больше единицы. По этой причине логарифмируемые выражения должны быть связаны неравенством того же смысла, что сами логарифмы. Таким образом,
$x + 7 > (x + 1)^{2}$, или $x^{2} + x - 6 < 0$.
Решим это квадратное неравенство и учтем условие $x > - 1$, определяющее о.д.з. Получим $- 1 < x < 2$.
Множество решений данного неравенства представляет собой интервал $(-1, 2)$.
б) Заметим, что $- 1 = log_{0,5} 2$, после чего перепишем данное неравенство так: $log_{0,5}(x^{2} + 1) > log_{0,5} 2$.
Отсюда $x^{2} + 1 < 2$. Это неравенство и данное - разного смысла, поскольку основание 0,5 логарифмов меньше единицы. Решив последнее неравенство, находим, что его решения заполняют конечный интервал $(-1, 1)$.
Пример 5. Решить неравенство
$log_{1+x} (2 - x) < 1$. (5)
Решение. В данном примере неизвестная входит как в основание, так и под знак логарифма; заранее неизвестно, будет ли основание логарифма $1+ x$ больше или меньше единицы, при решении придется учитывать обе эти возможности. Начнем решение примера с указания о.д.з. Ясно, что должно быть $- 1
$log_{1+x}(2-x) < log_{1+x}(1+x)$
и рассмотрим два случая.
1) $- 1 < x < 0$. В этом случае основание логарифмов меньше единицы, и, потенцируя, мы изменим смысл неравенства на противоположный:
$2 - x > 1 + x; x < \frac{1}{2}$.
Учитывая все ограничения на $x$, получаем $- 1 < x < 0$.
2) $0 < x < 2$. Теперь основание логарифмов больше единицы, при потенцировании смысл неравенства сохраняется:
$2 - x < 1 + x; x > \frac{1}{2}$,
и с учетом о.д.з. имеем $\frac{1}{2} < x < 2$.
Итак, множество решений неравенства (5) состоит из интервалов $(- 1, 0)$ и $\left ( \frac{1}{2}, 2 \right )$.