Если неравенство записано в виде $f (x) > 0$, то, построив график функции $y = f(x)$, можно непосредственно по чертежу видеть, для каких значений $x$ неравенство удовлетворяется (график лежит выше оси $Ox$). Решение будет точным или приближенным в зависимости от того, точно или приближенно найдены точки, где график переходит из нижней полуплоскости $y < 0$ в верхнюю полуплоскость $y > 0$.
Если неравенство задано в виде $f_{1} (x) > f_{2} (x)$, то можно построить графики двух функций $y = f_{1} (x)$ и $y = f_{2} (x)$ и по чертежу определять, для каких значений $x$ первый график располагается выше второго. Множество таких $x$ и даст множество решений неравенства.
Основная ценность графического подхода к решению неравенств состоит в том, что уже схематическое изображение графиков функций часто показывает, что неравенство выполняется в интервалах, ограниченных такими характерными точками, как точки пересечения графиков $y = f_{1} (x)$ и $y = f_{2} (x)$ между собой (или точки пересечения графика $y = f(x)$ с осью $Ox$). Отыскание этих точек является уже несколько более легкой задачей: оно сводится к решению уравнений, а не неравенств.
Пример 1. Решить неравенство
$\sqrt{2 - x} < x$.
Решение. Строим графики функций $y = x$ и $y = \sqrt{2-x}$ (рис.). Первый из них нам известен, второй представляет собой часть параболы $x = 2 - y^{2}$, лежащую в верхней полуплоскости. Из чертежа видно, что неравенство удовлетворяется в интервале $(a, 2)$, левый конец которого - корень уравнения $\sqrt{2-x} = x$. Решаем это уравнение: $2 - x = x^{2}, x_{1} = 1, x_{2} = - 2$.
Корень $x_{2} = - 2$ - посторонний, нужное нам значение: $a = x_{1} = 1$. Итак, неравенство удовлетворяется в интервале (1, 2).
Пример 2. Решить неравенство
$| log_{3} |x|| \leq 1$. (1)
Решение. Строим график функции $y = |log_{3}|x| |$; на рис. пунктиром показан график функции $y = log_{3} x$, после чего график $y = | log_{3} |x||$ (он показан сплошной линией). Далее проведена прямая $y = 1$. Сразу видно, что неравенству (1) будут удовлетворять значения $x$ из двух симметричных интервалов: $(-b, -a)$ и $(a, b)$. Здесь через $\pm a, \pm b$ обозначены абсциссы точек пересечения прямой $y = 1$ с графиком функции, т. е. решения уравнения
$|log_{3} |x| | = 1$. (2)
В силу симметрии достаточно найти решения уравнения (2) при $x > 0$. Поэтому уравнение (2) сводится к
$|log_{3} x | = 1$.
При $x > 1$ имеем $| log_{3}x | = log_{3} x$ и из $log_{3} x = 1$ находим $x = 3$. При $x < 1$ имеем $| log_{3} x| = - log_{3} x$ и из $log_{3} x = - 1$ находим $x = \frac{1}{3}$. Ясно, что $a = \frac{1}{3}, b = 3$ и множеством решений данного неравенства служит пара симметричных интервалов $\left ( - 3, - \frac{1}{3} \right )$ и $\left ( \frac{1}{3}, 3 \right )$.