геометрическая прогрессия
конечная, бесконечная геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же (определенное для данной последовательности) число $q$, называемое знаменателем прогрессии.
Предполагается, что $q \neq 0$.
Если число членов прогрессии конечно, то она называется конечной геометрической прогрессией; в противном случае она называется бесконечной геометрической прогрессией.
Приведем примеры бесконечных геометрических прогрессий:
а) $a_{1} = 3, q = 4$:
$3, 12, 48, 192, \cdots$
Эта прогрессия знакоположительная, монотонно возрастающая
б) $a_{1} = 48, q = - \frac{1}{2}$:
$48, -24, 12, -6, 3, - \frac{3}{2}, \cdots$
По причине отрицательности $q$ эта прогрессия знакопеременная.
Абсолютная величина членов этой прогрессии убывает в силу того, что $|q| < 1$. В связи с этим примером введем определение: геометрическая прогрессия называется убывающей, если $|q| < 1$ (т. е. если ее члены убывают по модулю; заметим, что при $q < 0$, как в разобранном примере, сами члены прогрессии попеременно меняют знак и убывающей последовательности не образуют, хотя мы и называем прогрессию убывающей).
Пусть последовательность
$a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \cdots, a_{n}, a_{n+1}, \cdots$
представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем $q$. Выведем формулу, выражающую общий член $a_{n}$ прогрессии через ее первый член $a_{1}$, знаменатель $q$ и номер $n$. С этой целью заметим, что по определению геометрической прогрессии
$a_{2} = a_{1}q$,
а также
$a_{3} = a_{2}q$.
Подставим в правую часть последнего равенства вместо $a_{2}$ его выражение через $a_{1}$ и $q$, взятое из предыдущего равенства:
$a_{3} = (a_{1}q)q = a_{1}q^{2}$.
Точно так же с помощью равенства
$a_{4} = a_{3}q$
прямо следующего из определения прогрессии, получим
$a_{4} = (a_{1}q^{2})q = a_{1}q^{3}$.
Видна закономерность, по которой общий член геометрической прогрессии выражается через $a_{1}, q$ и $n$:
$a_{n} = a_{1} q^{n-1}$. (1)
Строгое доказательство формулы (1) общего члена геометрической прогрессии проводится методом индукции.
Пример 1. Найти $a_{4}, a_{6}$ и $a_{11}$ геометрической прогрессии, у которой $a_{1} = 3$ и $q = 2$.
Решение. По формуле (1) имеем
$a_{4} = a_{1}q^{3} = 3 \cdot 2^{3} = 24$,
$a_{6} = a_{1}q^{5} = 3 \cdot 2^{5} = 96$,
$a_{11} = a_{1}q^{10} = 3 \cdot 2^{10} = 3072$.
Пример 2. Найти $a_{3}$ геометрической прогрессии, состоящей из действительных чисел, если у нее $a_{5} = 162, a_{8} = 4374$.
Решение. С помощью формулы (1) запишем:
$\begin{cases} a_{5} = a_{1}q^{4} = 162, \\ a_{8} = a_{1}q^{7} = 4374 \end{cases}$.
Из полученной системы уравнений (делением) найдем
$\frac{a_{1}q^{7}}{a_{1}q^{4} } = \frac{4374}{162} = 27, q^{3} = 27$.
Последнее уравнение имеет три корня: один действительный, равный 3, и два комплексных сопряженных. Ограничимся лишь первым из них, так как требуется найти прогрессию, состоящую из действительных чисел. Итак, $q = 3$, а значит, $a_{1} = \frac{162}{3^{4}} = 2$, и, следовательно,
$a_{3} = q_{1}q^{2} = 2 \cdot З^{2} = 18$.
Из формулы (1), выражающей общий член геометрической прогрессии, можно сделать выводы о его поведении при $n \rightarrow \infty$. Именно, в случае $q > 1$ общий член является бесконечно большой величиной, а в случае $0 < q < 1$ - бесконечно малой:
$lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = lim_{n \rightarrow \infty} a_{1}q^{n - 1} = \begin{cases} \infty & при q> 1 (a_{1} > 0 ) \\ 0& при 0 < q <1 \end{cases}$
Если знаменатель прогрессии $q < 0$, то члены прогрессии попеременно меняют знак; все же и в этом случае $lim_{n \rightarrow 0} a_{n} = 0$ при
$|q| < 1$. Особенно важным является следующее утверждение.
Теорема. Общий член бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится к нулю:
$\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 0$ при $|q| < 1$.
Доказательство. Чтобы не рассматривать отдельно случаи $q > 0$ и $q < 0$, будем проводить рассуждения для $|a_{n}|$. Так как $|q| < 1$, то
$|a_{n+1}| = |a_{n}| |q| < |a_{n}|$
- абсолютные величины членов прогрессии монотонно убывают. Так как, кроме того, $|a_{n}| > 0$, то последовательность $\{|a_{n}|\}$ монотонно убывает и ограничена снизу (нулем). По теореме Вейерштрасса она имеет предел; обозначим этот предел через $l$:
$\lim_{n \rightarrow \infty} |a_{n}| = 1$;
требуется доказать, что $l = 0$. Для этого запишем:
$|a_{n+1}| = |a_{n}||q|$. (2)
Перейдем в равенстве (2) к пределу при $n \rightarrow \infty$:
$\lim_{n \rightarrow \infty} |a_{n+1}| = |\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} q| = |q \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}| = |q|l$.
Ясно, что $\lim_{n \rightarrow \infty} |a_{n+1}|$ также равен $l$. Поэтому
$l = |q| l$,
или $l [l - |q|] = 0$, откуда $l = 0$ (так как $1 - |q| \neq 0$).