Функция нескольких переменных
Схема представления зависимостей величин в природе с помощью функций одной переменной является очень упрощенной; в действительности значения данной интересующей нас величины зависят от многих факторов (определяются значениями ряда других величин). Возьмем в качестве примера уравнение состояния идеального газа
$PV = RT$.
Это уравнение связывает три (вообще говоря, переменные) величины: давление $P$, температуру $T$, объем $V$. Если ограничиться изучением изотермических процессов ($T=T_{0}=const$), то можно будет объем считать функцией давления:
$V=f(P)= \frac{RT_{0}}{P}$.
Если рассматривать изобарические процессы ($P = P_{0} = const$), то придется уже объем считать функцией температуры:
$V = \phi(T) = \frac{RT}{P_{0}}$,
и т. д. В общем же случае объем $V$ надо рассматривать как функцию двух переменных $P, T$:
$V = F(P, T) = \frac{RT}{P}$.
Дадим определение функции двух переменных (случай функции большего числа переменных трактуется аналогично).
Величина $z$ называется функцией двух переменных $x, y$ (принимающих значения в некоторой допустимой области изменения, называемой областью определения функции $z = f(x, y)$), если каждой паре значений $x, y$ (из этой области) отвечает по некоторому закону единственное значение $z$.
Поскольку пара значений аргументов $x, y$ может быть изображена точкой плоскости, то область определения функции удобно изображать на плоскости.
Пример. Функция задана аналитическим выражением:
a) $z=\sqrt{x} + \sqrt{-y}$; б) $z = lg(1-x^{2}-y^{2})$;
найти ее область определения (т. е. о.д.з. соответствующего выражениями изобразить ее графически.
Решение, а) Функция определена при $x \geq 0, y \leq 0$. Соответствующая область—четвертый квадрант (включая ограничивающие его лучи координатных осей), рис. а.
б) Здесь $1 – x^{2} – y^{2} > 0$, или $x^{2} + y^{2} < 1$. Это условие определяет множество точек, расстояние которых от начала $O$ меньше
единицы. Такие точки заполняют внутренность круга с центром в $O$ и радиусом, равным единице (точки окружности в область не входят), как показано на рис. 2б.