Выведем теперь формулу для суммы членов произвольной конечной геометрической прогрессии, содержащей $n$ членов. Обозначим эту сумму через $S_{n}$. Имеем
$S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{n-1} + a_{n}$.
Умножим обе части этого равенства на $q$:
$S_{n}q = a_{1}q + a_{2}q + a_{3}q + \cdots + a_{n-1} q + a_{n} q$.
Но $a_{1}q = a_{2}, a_{2}q = a_3, a_{3}q = a_{4}, \cdots, a_{n-1}q = a_{n}$, поэтому
$S_{n}q = a_{2} + a_{3} + a_{4} + \cdots + a_{n} + a_{n} q$.
Вычтем теперь из полученного равенства исходное:
$S_{n}q - S_{n} = a_{n}q - a_{1}, S_{n}(q-1) = a_{n}q - a_{1}$.
Отсюда находим
$S_{n} = \frac {a_{n}q - a_{1}}{q-1}$ (1)
Здесь, конечно, предполагается, что $q \neq 1$.
Найдена первая формула для суммы членов геометрической прогрессии. Вторую формулу для суммы мы получим, если используем формулу (1) для общего члена прогрессии:
$S_{n} = \frac {a_{1}q^{n-1}q - a_{1}}{q-1}$
или
$S_{n} = a_{1} \frac {q^{n} - 1}{q-1}$. (2)
Пример 1. Найти сумму семи членов геометрической прогрессии, у которой $a_{1} = -2, q = -3.$
Решение. По формуле (2) имеем
$5_{1} = a_{1} \frac{q^{7} - 1 }{q - 1} = (-2) \frac{(-3)^{7} -1}{(-3) - 1} = -2 \frac{-2187-1}{-3-1} = - 1094$.
Пример 2. Для геометрической прогрессии, состоящей из действительных членов, найти $S_{10}$, если известно, что $S_{3} = 9, S_{6} = -63$.
Решение. Дважды используем формулу (2):
$S_{3} = a_{1} \frac{q^{3} - 1 }{q - 1} = 9$,
$S_{6} = a_{1} \frac{q^{6} - 1 }{q - 1} = -63$
Разделим второе равенство на первое; получим
$\frac{q^{6} - 1 }{q^{3} - 1 } = - 7$.
Заметим, что по формуле разности квадратов $q^{6} - 1 = (q^{3} - 1)(q^{3} + 1)$. Поэтому после сокращения можно найти
$q^{3} + 1 = -7$,
откуда $q^{3} = -8$. По условию прогрессия состоит из действительных членов. Поэтому берем только $q = - 2$. Из первого исходного уравнения теперь найдем $a_{1} = 3$. Снова использовав формулу (2), получим
$S_{10} = 3 \frac{(-2)^{10} - 1 }{(-2) - 1} = 3 \frac{1024 - 1}{-3} = - 1023$.