Найдем сумму и произведение корней квадратного уравнения. Используя формулы $x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt { \frac{p^{2}}{4} - q}$. для корней приведенного уравнения, получим
$\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - p \\ x_{1}x_{2} = q \end{cases}$ (1)
(первое равенство очевидно, второе получается после несложного вычисления, удобно использовать формулу для произведения суммы двух чисел на их разность).
Доказана следующая
Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену.
В случае неприведенного квадратного уравнения следует в формулы (1) подставить выражения $p = \frac{b}{a}, q = \frac{c}{a}$; формулы (1) примут вид
$\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{c} \\ x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} \end{cases}$. (2)
Вышеуказанный вывод формул Виета знаком читателю из курса алгебры средней школы. Можно дать другой вызод, использующий теорему Безу и разложение многочлена на множители.
Пусть $x_{1}, x_{2}$ - корни уравнения $x^{2} + px + q = 0$; тогда по общему правилу трехчлен в левой части уравнения разлагается на множители:
$x^{2} + px + q = (x - x_{1})(x - x_{2})$.
Раскрывая скобки в правой части этого тождественного равенства, получим
$x^{2}+ px + q = x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1}x_{2}$,
и сравнение коэффициентов при одинаковых степенях $x$ даст нам формулы Виета (1).
Преимущество этого вывода состоит в том, что его можно применить и к уравнениям высших степеней с тем, чтобы получить выражения коэффициентов уравнения через его корни (не находя самих корней!).