Довольно часто приходится иметь дело с движением тел, получивших начальную скорость не параллельно силе тяжести, а направленную под некоторым углом к ней (или к горизонту). Когда, например, спортсмен толкает ядро, метает диск или копье, он сообщает этим «предметам» именно такую начальную скорость. При артиллерийской стрельбе стволам орудий придается некоторый угол возвышения, так что вылетевший снаряд тоже получает начальную скорость, направленную под углом к горизонту.
Будем считать, что силой сопротивления воздуха можно пренебречь. Как в этом случае движется тело?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим следующий несколько искусственный способ бросания тела под углом к горизонту.
Представим себе автомобиль, движущийся равномерно в горизонтальном направлении со скоростью $\vec{v}_{x}$. Пассажир в автомобиле бросает какое-нибудь тело с начальной скоростью $\vec{v}_{y}$ вертикально вверх. Это значит, что пассажир видит тело поднимающимся в вертикальном направлении. А как направлена эта скорость относительно Земли?
рис. 1
Вспомним, что говорилось в параграфе "Относительность движения" об относительности движения. Ясно, что автомобиль - это подвижное тело отсчета, а Землю можно считать неподвижным телом отсчета. Тогда скорость тела относительно Земли будет равна векторной сумме скоростей $\vec{v}_{x}$ и $\vec{v}_{y}$. Из рисунка 1 видно, что относительно Земли начальная скорость $\vec{v}$ направлена к горизонту под некоторым углом $\alpha$. Следовательно, тело, брошенное с движущегося автомобиля вверх, движется относительно Земли так, как будто бы оно было брошено неподвижным «метателем» под углом $\alpha$ к горизонту.
Проследим теперь за дальнейшим движением тела.
рис. 2
Поместим начало неподвижной системы координат в точку, где автомобиль находился в момент броска. Направим ось $X$ вдоль направления движения автомобиля, а ось $Y$ по вертикали вверх (именно поэтому мы обозначили скорость по горизонтали через $\vec{v}_{x}$, а по вертикали через $\vec{v}_{y}$). С автомобилем мы свяжем систему координат $X^{ \prime}O^{ \prime}Y^{ \prime}$, направив оси $X^{ \prime }$ и $Y^{ \prime }$ параллельно осям $X$ и $Y$ (рис. 2). Это подвижная система координат.
Каким будет движение тела относительно каждой из этих систем координат?
Относительно подвижной системы координат, т. е. для пассажира в автомобиле, движение тела - это просто движение по вертикали вверх вдоль оси $Y^{ \prime}$. Это равноускоренное движение с ускорением $g$, которое сообщает телу сила тяжести $mg$.
Но относительно Земли сама ось $Y^{ \prime }$ перемещается вдоль оси $X$ с постоянной скоростью $\vec{v}_{x}$.
рис. 3
Отметим положения тела по оси $Y^{ \prime}$ и положения самой этой оси через равные промежутки времени $\tau$ (например, через каждую секунду). Из рисунка 3 видно, что сначала тело удаляется от наблюдателя на автомобиле вертикально вверх. В некоторый момент времени $t_{1}$ тело достигнет максимальной высоты $h_{макс}$ в точке $B$, где его скорость по оси $Y^{ \prime }$ равна нулю. Для наблюдателя на Земле тело в этот момент движется горизонтально со скоростью автомобиля $\vec{v}_{x}$.
В параграфе "Движение тела, брошенного вертикального вверх" мы видели, что время подъема на максимальную высоту
$t = \frac{v_{0} }{g}$,
где $v_{0}$ - начальная скорость, с которой тело было брошено вверх.
В нашем случае $v_{0} = v_{y}$, так что тело достигнет точки $B$ по истечении времени $t_{1} = \frac{v_{y} }{g}$.
Используя полученную в параграфе "Движение тела, брошенного вертикального вверх" формулу для максимальной высоты подъема тела, брошенного вертикально вверх ($h_{макс} = \frac{v_{0}^{2} }{2g}$), найдем, что в нашем случае $h_{макс} = \frac{v_{y}^{2} }{2g}$.
Начиная с того момента, в который тело достигло точки $B$, наблюдатель на автомобиле будет видеть, что тело падает вниз все с тем же ускорением $g$. При этом через такие же последовательные промежутки времени $\tau$ тело будет занимать на оси $Y^{ \prime }$ те же положения, что и при подъеме, но в обратном порядке.
В параграфе "Движение тела, брошенного вертикального вверх" было показано, что время падения тела равно времени его подъема. Поэтому еще через промежуток времени, тоже равный $t_{1}$, тело снова окажется в автомобиле. Значит, полное время движения тела
$t = 2t_{1} = \frac{2v_{y} }{g}$.
Относительно Земли за этот промежуток времени сама ось $Y^{ \prime}$ вместе с телом продвинулась вдоль оси $X$ на расстояние $OC = v_{x}t$. $OC$ - это дальность полета тела. Обозначим ее через $l$.
Следовательно, $l = v_{x}t = \frac{2v_{x}v_{y} }{g}$.
Соединив точки, через которые последовательно проходит тело, плавной кривой, мы получим траекторию движения тела относительно Земли. Эту кривую называют параболой.
Задача. Самоходная зенитная пушка, установленная на автомашине, во время испытаний запустила вертикально вверх снаряд с начальной скоростью 600 м/сек. В момент выстрела автомашина двигалась со скоростью 21,6 км/ч. После выстрела автомашина остановилась. Как далеко от места выстрела упадет снаряд? До какой высоты он поднимется? Через какое время он упадет на землю?
Считать, что на снаряд действует только сила тяжести (силой сопротивления воздуха пренебречь).
Решение. Дальность полета снаряда можно вычислить по формуле
$l = \frac{2v_{x}v_{y} }{g}$, (1)
а максимальную высоту подъема снаряда $h_{макс}$ по формуле
$h_{макс} = \frac{v_{y}^{2} }{2g}$. (2)
Скорость $v_{x}$ - это скорость автомобиля. Следовательно, $v_{x} = 21,6 км/ч = 6 м/сек, v_{y} = 600 м/сек$. Подставив эти значения в формулы (1) и (2), получим:
$l = \frac{2 \cdot 600 \frac{м}{с} \cdot 6 \frac{м}{с}}{9,81 \frac{м}{с^{2} } } \approx 720 м$
и
$h_{макс} = \frac{ \left ( 600 \frac{м}{с} \right )^{2} }{2 \cdot 9,81 \frac{м}{с^{2} } } = 18000 м = 18 км$.
Теперь найдем время полета снаряда. Оно равно:
$t = \frac{2v_{y}}{g} = \frac{2 \cdot 600 \frac{м}{с} }{ 9,81 \frac{м}{с^{2} }} \approx 120 с = 2 мин$.
Полученные в этом параграфе формулы для дальности и времени полета тела, брошенного под углом к горизонту, содержат величины $v_{x}$ и $v_{y}$ - проекции начальной скорости на оси $X$ и $Y$. Между тем обычно бывают известны сама начальная скорость $v$ и угол $\alpha$, который вектор $\vec{v}$ образует с горизонтальной осью $X$.
Из рисунков 1 и 3 видно, что
$\frac{v_{x} }{v} = \cos \alpha$,
откуда $v_{x} = v \cos \alpha$,
Точно так же $\frac{v_{y} }{v} = \sin \alpha$
и $v_{y} = v \sin \alpha$.
Пользуясь этими выражениями для $v_{x}$ и $v_{y}$, можно формулу для дальности полета написать в таком виде:
$l = \frac{2v_{x}v_{y}}{g} = \frac{2v^{2} \cos \alpha \sin \alpha}{g}$.
Максимальную высоту, на которую поднимется тело, можно теперь выразить формулой
$h_{макс} = \frac{v_{y}^{2}}{2g} = \frac{v^{2} \sin^{2} \alpha }{2g}$.
Таким образом и дальность, и максимальная высота полета определяются значениями начальной скорости $v$ и угла $\alpha$, под которым брошено тело.
Из формулы для дальности полета видно, что дальность полета будет наибольшей при заданной начальной скорости $v$, когда максимально значение произведения $\cos \alpha \cdot \sin \alpha$. Можно доказать, что это произведение максимально при $\alpha = 45^{ \circ}$.