сумма бесконечной прогрессии
Рассмотрим теперь вопрос о суммировании бесконечной геометрической прогрессии. Назовем $n$-й частичной суммой данной бесконечной прогрессии сумму $n$ ее первых членов. Обозначим $n$-ю частичную сумму символом $S_{n}$.
Так,
$S_{1} = a_{1}$,
$S_{2} = a_{1} + a_{2}$,
$S_3 = a_{1} + a_{2} + a_{3}$,
$\cdots$
$S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{n}$.
Для каждой бесконечной прогрессии
$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n}, \cdots$
можно составить (также бесконечную) последовательность ее частичных сумм $\{S_{n}\}$:
$S_{1}, S_{2}, S_{3}, \cdots, S_{n}, \cdots$.
Пусть последовательность $\{S_{n}\}$ при неограниченном возрастании $n$ имеет предел $S$:
$\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n} = S$. (1)
В этом случае число $S$, т. е. предел частичных сумм прогрессии, называют суммой бесконечной прогрессии.
Мы докажем, что бесконечная убывающая геометрическая прогрессия всегда имеет сумму, и выведем формулу для этой суммы (можно также показать, что при $|q| \geq 1$ бесконечная прогрессия не имеет суммы, $\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n}$ не существует).
Запишем выражение частичной суммы как суммы $n$ членов прогрессии по формуле (1) и будем рассматривать предел частичной суммы при $n \rightarrow \infty$:
$S = \lim_{n \rightarrow \infty} S_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac {a_{n}q - a_{1}}{q-1}$.
Известно, что для убывающей прогрессии $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 0$; поэтому, применяя теорему о пределе разности, найдем
$S = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac {a_{n}q - a_{1}}{q-1} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac {a_{n}q}{q-1} - \lim_{n \rightarrow \infty} \frac {a_{1}}{q-1} \lim_{n \rightarrow \infty} {a_{n} - \frac {a_{1}}{q-1}} = \frac {a_{1}}{1-q}$
(здесь также использовано правило: постоянный множитель выносится за знак предела). Существование $S = \lim_{n \rightarrow \infty} S_{n}$ доказано, и одновременно получена формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
$S = \frac{a_{1} }{1 - q}$ (2)
Равенство (1) можно также писать в виде
$a_{1} + a_{1}q + a_{1}q^{2} + \cdots + a_{1}q^{n-1} + \cdots = \frac {a_{1}}{1-q}$. (3)
Здесь может казаться парадоксальным, что сумме бесконечного множества слагаемых приписывается вполне определенное конечное значение. Можно привести наглядную иллюстрацию в пояснение такого положения. Рассмотрим квадрат со стороной, равной единице (рис.). Разделим этот квадрат горизонтальной линией на две равные части и верхнюю часть приложим к нижней так, чтобы образовался прямоугольник со сторонами 2 и $\frac{1}{2}$. После этого правую половину этого прямоугольника снова разделим горизонтальной линией пополам и верхнюю часть приложим к нижней (как показано на рис.). Продолжая этот процесс, мы все время преобразуем исходный квадрат с площадью, равной 1, в равновеликие фигуры (принимающие вид лестницы с утоньшающимися ступеньками). При бесконечном продолжении этого процесса вся площадь квадрата разлагается в бесконечное число слагаемых - площадей прямоугольников с основаниями, равными 1, и высотами $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \cdots$. Площади прямоугольников как раз образуют при этом бесконечную убывающую прогрессию ($a_{1} = frac{1}{2}, q = \frac{1}{2}$); ее сумма
$S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = \frac { \frac{1}{2}}{1- \frac{1}{2}} = 1$
т. е., как и следовало ожидать, равна площади квадрата.
Пример. Найти суммы следующих бесконечных прогрессий:
а) $2, \frac{3}{2}, \frac{9}{8}, \frac{27}{32}, \cdots$;
б) $3, -1, \frac{1}{3}, - \frac{1}{9}, \cdots$;
в) $1, \frac{11}{10}, \frac{121}{100}, \frac{1331}{1000}$.
Решение, а) Замечаем, что у этой прогрессии $a_{1} = 2, q = \frac{3}{4}$. Поэтому по формуле (2) находим
$S = \frac{2}{1 - \frac{3}{4} } = 8$.
б) Здесь $a_{1} = 3, q = - \frac{1}{3}$; значит, по той же формуле (2) имеем
$S = \frac{3}{1 - \left ( - \frac{1}{3} \right ) } = \frac{9}{4}$.
в) Находим, что у этой прогрессии $q = \frac{11}{10} > 1$. Поэтому данная прогрессия не имеет суммы.