Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же (определенным для данной последовательности) числом $d$, называемым разностью прогрессии.
Натуральный ряд чисел дает пример бесконечной арифметической прогрессии с разностью $d = 1$, а последовательность нечетных и четных чисел - примеры бесконечных арифметических прогрессий, у каждой из которых разность $d = 2$.
Арифметическая прогрессия при $d \neq 0$ есть монотонная последовательность: если $d > 0$, то прогрессия возрастает, если $d < 0$, то прогрессия убывает; при $d = 0$ она постоянна. Бесконечные арифметические прогрессии, у которых $d \neq 0$, как последовательности неограниченные, предела не имеют. Они дают пример расходящихся последовательностей.
Пусть последовательность
$a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \cdots, a_{n}, a_{n+1}, \cdots$
представляет собой арифметическую прогрессию с разностью $d$. Выведем формулу, выражающую общий член $a_{n}$ прогрессии через ее первый член $a_{1}$, разность d и номер $n$. С этой целью заметим, что по определению арифметической прогрессии
$a_{2} = a_{1} + d$
и также
$a_{3} = a_{2} + d$
Подставим в правую часть последнего равенства вместо $a_{2}$ его выражение через $a_{1}$ и $d$, взятое из предыдущего равенства, получим
$a_{3} = (a_{1} + d) + d = a_{1} + 2d$.
Точно так же с помощью равенства
$a_{1} = a_3 + d$,
непосредственно следующего из определения прогрессии, получим
$a_{4} = (a_{1} + 2d) + d = a_{1} + 3d$.
Видна закономерность, по которой общий член прогрессии выражается через $a_{1}, d$ и $n$:
$a_{n} = a_{1} + (n-1)d$. (1)
Доказательство формулы общего члена (1) проведем методом индукции. Мы уже видели, что формула (1) верна для $n = 2, 3, 4$ (впрочем, достаточно проверить ее справедливость хотя бы для $n = 1$). Предположим, что она верна для некоторого $n$, и докажем, что в этом случае она верна и для следующего номера $n + 1$. Запишем выражение $a_{n+l}$, вытекающее из определения арифметической прогрессии:
$a_{n+l} = a_{n} + d$.
Подставим сюда выражение (1) для $a_{n}$ (для $a_{n}$ формула (1) считается верной):
$a_{n+1} = a_{1} + (n-1) d + d = a_{1} + nd$,
или
$a_{n+1} = a_{1} + [(n+1) - 1] d$,
но это и есть формула (1), записанная уже для номера $(n+l)$, которую и требовалось доказать.
Пример 1. Найти члены $a_{8}, a_{51}, a_{1000}$ арифметической прогрессии, у которой $a_{1} = -2$ и $d = 5$.
Решение. По формуле (1) находим
$a_{8} = a_{1} + 7d = - 2 + 7 \cdot 5 = 33$,
$a_{51} = a_{1} + 50d = - 2 + 50 \cdot 5 = 248$,
$a_{1000} = a_{1} + 999d = - 2 + 999 \cdot 5 = 4993$.
Пример 2. Найти член $a_{16}$ арифметической прогрессии, если у нее $a_{8} = 40$, а $a_{20} = - 20$.
Решение. С помощью формулы (1) запишем:
$\begin{cases} a_{8} = a_{1} + 7d = 40. \\ a_{20} = a_{1} + 19d = - 20. \end{cases}$
Из полученной линейной системы найдем $a_{1} = 75$ и $d = - 5$. Отсюда
$a_{16} = 75 + 15 \cdot (-5) = 0$.