Координаты точки на плоскости часто записывают как в полярной, так и в прямоугольной системах координат и используют преобразования этих координат друг в друга. Если нет специальных указаний, то при этом подразумевают следующее взаимное расположение прямоугольной и полярной систем координат (рис.): полюс полярной системы координат совмещен с началом прямоугольной системы координат; полярная ось совпадает с положительной частью оси абсцисс, а масштаб в полярной системе для вычисления расстояний берется равным единице длины в прямоугольной системе координат. В этом случае прямоугольные координаты $(x; y)$ точки $M$ на плоскости выражаются через ее полярные координаты $(\rho, \phi)$ с помощью соотношений (см. рис.)
$x = \rho \cos \phi$
$y = \rho \sin \phi$
С учетом ограничения $\phi \in (- \pi, \pi]$ на полярный угол полярные координаты точки определяются через ее прямоугольные координаты следующим образом:
$\rho = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$,
$\phi = \begin{cases}
arctg (y/x),& x> 0; \\
\pi + arctg (y/x),& x < 0, y \geq 0; \\
-\pi + arctg (y/x),& x< 0, y <0; \\
\pi /2,& x = 0, y>0; \\
- \pi / 2,& x = 0, y < 0.
\end{cases}$